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容斥問題首選公式法_2017年浙江公務員行測指導
http://www.ikeluosi.com 2017-03-16 來源：浙江公務員考試網
容斥問題是一種集合計數問題，是數量關系中比較常見的一種問題，對于這一類問題，如果不進行系統性的學習，沒有掌握好想用的技巧就會覺得比較難以下手，今天，浙江公務員考試網（www.ikeluosi.com）就詳細地講一下對于這類問題怎么用公式法快速求解。
容斥問題的常見考察方式分為二者容斥和三者容斥，根據題目所給條件總結為如下幾個公式。
二者容斥問題公式：全集=A+B+空白-A∩B
三者容斥問題公式：全集=A+B+C+空白-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C
= A+B+C+空白-只含兩者-2×A∩B∩C
= A+B+C+空白-至少包含兩者-A∩B∩C
對于公式大家一定要記清楚并能夠理解記憶，公式很重要，因為容斥問題的考察中絕大多數題目都是可以直接用公式法求解的，而且只要記住公式就能夠很快的解題，下面我們通過幾個例題看看具體的題目該怎么求解。
【例1】某班有50名學生，在一次測驗中有26人滿分，在第二次測驗中有21人滿分，如果兩次測驗都沒得過滿分的學生有17人，那么兩次測驗都得滿分的有多少人？
A.14 B.12 C.17 D.20
【解析】通過都題目可以發現這是一個二者容斥的問題，要求的是兩者的交集，設為X，全集是50，空白區域是17，所以根據公式可以列出式子：50=26+21+17-X，可以算出X等于14，故選擇A答案。
【例2】某高校對一些學生進行問卷調查。在接受調查的學生中，準備參加注冊會計師考試的有63人，準備參加英語六級考試的有89人，準備參加計算機考試的有47人，三種考試都準備參加的有24人，準備選擇兩種考試都參加的有46人，不參加其中任何一種考試的都15人。問接受調查的學生共有多少人？
A.120 B.144 C.177 D.192
【解析】通過題目可以發現這是一個三者容斥問題，要求的全集的大小。集合A可以看成是63，集合B可以看成是89，集合C可以看成是47，只含兩者的是46，三者的交集是24，空白區域是15，所以列式為：全集=63+89+47+15-46-2×24=120，故選擇A選項。
【例3】某服裝公司就消費者對紅、黃、藍三種顏色的偏好情況進行市場調查，共抽取了40名消費者，發現其中有20人喜歡紅色、20人喜歡黃色、15人喜歡藍色，至少喜歡兩種顏色的有19人。喜歡三種顏色的有3人，問三種顏色都不喜歡的有幾人？
A.1 B.3 C.5 D.7
【解析】通過題目可以發現這是一個三者容斥問題，要求的是空白區域，可以設為X，全集為40，集合A是20，集合B是20，集合C是15，至少包含兩者的是19，三者的交集是3，根據公式可以列式為：40=20+20+15+X-19-3，可以解出X等于7，所以選擇D選項。
相信大家通過上面三個例題可以看出，容斥問題只要掌握好了相應的公式，解題起來是相當快速的，所以考生們一定要記住公式并根據所給條件選擇相應的公式求解。
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